Tentukan subgrup dari Z₈ dan Z₁₂ atas penjumlahan kemudian gambarlah diagram latticenya !

JAWAB:

1. Z₈={0,1,2,3,4,5,6,7,}

Ambil a= 2 dimana <2> = {0,2,4,6}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:

2¹=2

2²=4

2³=6

2⁴=0

2⁵=2

Apabila 2 selanjutnya dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan berulang. Sehingga <2> tertutup terhadap operasi di Z₈ akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z₈.

Selanjutnya ambil a=4, dimana <4>={0,4}. Dengan cara serupa kita dapatkan:

4¹=4

4²=0

4³=4

4⁴=0

4⁵=4

Apabila 4 dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan berulang pada order dari <4> sehingga <4> tertutup terhadap operasi di Z₈ akibatnya <4> merupakan subgrup dari Z₈.

Ternyata subgrup dari Z₈ adalah <2> dan <4> dimana <2>={0,2,4,6} dan <4>={0,4}. <2> dan <4> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z₈.

Sehingga diagram latticenya adalah:

2. Z₁₂={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}

Ambil a= 2 dimana <2>={0,2,4,6,8,10}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:

2¹=2                                2⁴=8

2²=4                                2⁵=10

2³=6                                2⁶=0

Apabila 2 dipangkatkan sampai n dimana n є Z hasilnya tetap berada pada <2> sehingga tertutup terhadap operasi pada Z₁₂. Akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z₁₂.

Dengan cara serupa ambil a=3 dimana <3>={0,3,6,9} sehingga diperoleh:

3¹=3                                3⁵=3

3²=6                                3⁶=6

3³=9                                3⁷=9

3⁴=0                                3⁸=0

Dari hasil di atas <3> merupakan subgrup dari Z₁₂.

Selanjutnya ambil a=4 dimana <4>={0,4,8}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:

4¹=4                              4⁴=4

4²=8                              4⁵=8

4³=0                              4⁶=0

Apabila 4 dipangkatkan sampai pangkat ke-n, dimana n є Z hasilnya akan sama dengan order dari <4> yaitu <4>={0,4,8} sehingga tertutup terhadap operasi di Z₁₂ akibatnya <4> merupakan subgrup dari Z₁₂.

Ambil a=6 dimana <6>={0,6} dengan cara yang sama diperoleh:

6¹=6                              6³=6

6²=0                              6⁴=0

Dengan memangkatkan a sampai pangkat ke-n hasilnya akan sama dengan <6> sehingga <6> tertutup terhadap operasi di Z₁₂ akibatnya <6> merupakan subgrup dari Z₁₂.

Dari hasil diatas dapat disimpulkan <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup dari Z₁₂. <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z₁₂ dan <0> merupakan subgrup trivial dari Z₁₂.

Diagram lattice dari Z₁₂ adalah sebagai berikut:

Contoh 2:

Pada contoh sebelumnya, yaitu pada Z₈ <2> dan <4> adalah subgrup siklik dari Z₈.

Contoh 3:

Carilah pembangun dari Z₅ !!!

Jawab:

Order dari Z₆ adalah Z₆={0,1,2,3,4,5}. Misal kita ambil a=1 maka:

1¹, 1², 1³, 1⁴, 1⁵, 1⁶,….,={1,2,3,4,5,0,….,}= Z₆.

Sehingga <1> merupakan pembangun dari Z_6.

Selanjutnya dicari pembangun yang lain dari Z_6. Kita ambil a=2

2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶,….,={2,4,0,2,4,0,….}≠ Z_6.

Sehingga 2 bukan pembangun dari Z_6.

untuk a=3 hasilnya:

3¹, 3², 3³, 3⁴, 3⁵, 3⁶,….,={3,0,3,0,3,0,….}≠ Z₆

Sehingga 3 bukan pembangun dari Z_6.

Kemudian untuk a=4 didapatkan:

4¹, 4², 4³, 4⁴, 4⁵, 4⁶,….,={4,2,0,4,2,0,….}≠ Z₆

Sehingga 4 bukan pembangun dari Z_6.

Selanjutnya untuk a=5 diperoleh:

5¹, 5², 5³, 5⁴, 5⁵, 5⁶,….,={5,4,3,2,1,0,….,}= Z₆.

Sehingga <5> merupakan pembangun dari Z_6.

Kesimpulan :

Berdasarkan hasil di atas dapat kita simpulkan bahwa pembangun dari Z₆ adalah 1 dan 5 karena <1>=<5>= Z_6. Dari definisi di atas ternyata Z₆ merupakan subgrup siklik dengan pembangun 1 dan 5.

Definisi

Grup g dikatakan isomorfisma dengan  jika:

1. I.            Fungsinya satu- satu
2. II.            Fungsinya pada
3. III.            Mengawetkan operasi
   

Grup G dan isomorfisma dinotasikan dengan

Teorema

Jika  suatu isomorfisma dari G ke , dan e adalah identiras dari G maka  identitas dari  , dan juga  untuk semua  atau dengan kata lain suatu isomorfisma memetakan identitas ke identitas dan invers ke invers.

Bukti

Misal , karena  pada maka terdapat  sehingga

Kemudian

Dengan cara sama diperoleh:

Jadi, untuk semua  berlaku

Sehingga  adalah identitas dari .

Selanjutnya untuk   kita dapatkan

Dengan cara sama diperoleh

Akibatnya .

Menunjukkan Dua Grup Isomorf

Proses menggunakan definisi untuk membuktikan dua buah grup,  dan  isomorf adalah:

LANGKAH 1     Definisikan fungsi yang akan memberikan suatu isomorfisma dari ke .

LANGKAH 2     Tunjukkan satu-satu

LANGKAH 3     Tunjukkan pada

LANGKAH 4     Tunjukkan untuk semua .

Contoh 1 Akan dibuktikan

LANGKAH 1     Untuk , definisikan .  Ini merupakan pemetaan

LANGKAH 2     Jika  akibatnya  sehingga .  Ini menunjukkan  pemetaan satu-satu.

LANGKAH 3     Jika  maka  ,kemudian.  Sehingga  bersifat pada.

• LANGKAH 4     Untuk , akan dibuktikan .

Jadi, berdasarkan definisi telah terbukti bahwa  suatu isomorfisma.

Conoh 2 The map  defined by  for  is one to one and onto . Give the definition of a binary operation * on  such that  an isomorphism mapping

. In each case, give the identity element for * on .

Jawab

Adb .

Cari

Sehingga definisinya

Identitasnya

Teorema 8.2 Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan , grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.

Bukti.   Misalkan  mempunyai pembangun  dan kita gunakan notasi perkalian untuk operasinya.  Jadi

Sudah kita tunjukkan pada kasus satu pada subbab 7.2 bahwa pada grup siklik

Diketahui (G,∗) merupakan grup dan  maka  merupakan

subgrup atas G. Subgrup ini dinamakan subgrup siklik G yang dibangun oleh a.

Jika (G,∗) merupakan grup, terdapat , jika  maka a dinamakan pembangun G sehingga  maka G disebut grup siklik.

Pembangun adalah jika (G,∗) merupakan grup, ,  dan Elemen a disebut

pembangun grup H dan dinotasikan .

Contoh temukan semua pembangun dari grup siklik

Jawab

Order adalah Diketahui (G,# ) merupakan grup siklik. Jika elemen-elemen pada G berhingga, maka order dari G adalah jumlah elemen pada G. Jika elemen-elemen pada G tidak berhingga, maka order dari G adalah tidak berhingga. Order dari G dinotasikan dengan G .

Contoh berapa dari grup siklik

Jawab

4

Teorema

Setiap grup siklik merupakan grup komutatif.

Bukti.

Misalkan G adalah grup siklik dan a merupakan pembangun G yaitu  . Ambil sebarang elemen  .

Karena G merupakan grup siklik, maka terdapat bilangan  sehingga

Jadi, terbukti bahwa G merupakan grup komutatif.

Lemma

Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat secara unik bilangan bulat q dan r sehingga

n = mq + r dan

Teorema

Subgrup pada suatu grup siklik merupakan grup siklik.

Bukti.

Misalkan G merupakan grup siklik yang dibangun oleh a dan H subgrup dari G.

Akan ditunjukkan bahwa H merupakan grup siklik.

Jika {e} = H, jelas bahwa <e>= H sehingga H merupakan grup siklik.

Jika {e} H maka terdapat x H , dengan , Karena H merupakan subgrup dari G, maka x G ¸ dan berakibat, untuk suatu .

Pilih  , sebagai bilangan yang terkecil sehingga

Akan ditunjukkan bahwa <

Ambil sebarang y H¸ dan karena H subgrup dari G, maka x G, dan berakibat  untuk suatu

Menurut lemma maka z = qm + r untuk

Karena  dan  ada di H dan G adalah grup, maka

Akibatnya

Tetapi karena m adalah bilangan asli terkecil sehingg  dan  maka haruslah

r = 0 sehingga p = qm

Jadi karena untuk sebarang  berlaku , maka <> = H jadi H grup siklik

Akibat 1.2

Jika a adalah pembangun dari grup siklik sehingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah  dimana r dan n relative prim (FPB), yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1

Temukan semua subgrup dari

Jawab :

Dari akibat diperoleh 1,3,7,9 adalah pembangun dari

Karna 2 bukan pembangun dari  maka 2 kemungkinan merupakan subgrup dari

Subgrup dengan orde 5,pembangun yang berbentuk h2 dengan h relative prim 5

Sehingga hanya perlu mncari subgrup yang dibangun oleh

Jadi subgrup dari adalah 2 dan 5

The Beauty of “MatheMagic”

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Bahasa Burung

Saat itu kebetulan ada seekor burung hantu yang sering berteriak di dekat istana. Bertanyalah raja pada Nasrudin, “Coba katakan, apa yang diucapkan burung hantu itu!”
“Ia mengatakan,” kata Nasrudin, “Jika raja tidak berhenti menyengsarakan rakyat, maka kerajaannya akan segera runtuh seperti sarangnya.”

Domba dan Dompet

Dia tidak tahu bahwa laki-laki tersebut adalah pencuri dombanya. Dia bertanya, apa yang dikerjakan di sini, si pencuri menjawab:

Laki-laki itu berpikir: “Ketika satu pintu tertutup, seratus pintu mungkin terbuka. Kesempatan ini sepuluh kali lebih berharga daripada dombaku yang telah hilang.”
Dia membuka baju dan melompat masuk ke dalam sumur. Dan si pencuri membawa pergi bajunya.

Keledai Membaca

Si keledai menatap buku itu, dan tak lama mulai membalik halamannya dengan lidahnya. Terus menerus, dibaliknya setiap halaman sampai ke halaman akhir. Setelah itu si keledai menatap Nasrudin.
“Demikianlah,” kata Nasrudin, “Keledaiku sudah bisa membaca.”
Timur Lenk mulai menginterogasi, “Bagaimana caramu mengajari dia membaca ?”
Nasrudin berkisah, “Sesampainya di rumah, aku siapkan lembaran-lembaran besar mirip buku, dan aku sisipkan biji-biji gandum di dalamnya. Keledai itu harus belajar membalik-balik halam untuk bisa makan biji-biji gandum itu, sampai ia terlatih betul untuk membalik-balik halaman buku dengan benar.”
“Tapi,” tukas Timur Lenk tidak puas, “Bukankah ia tidak mengerti apa yang dibacanya ?”
Nasrudin menjawab, “Memang demikianlah cara keledai membaca: hanya membalik-balik halaman tanpa mengerti isinya. Kalau kita membuka-buka buku tanpa mengerti isinya, kita disebut setolol keledai, bukan ?”