contoh soal subgrup siklik

Contoh 1:

Tentukan subgrup dari Z₈ dan Z₁₂ atas penjumlahan kemudian gambarlah diagram latticenya !

JAWAB:

1. Z₈={0,1,2,3,4,5,6,7,}

Ambil a= 2 dimana <2> = {0,2,4,6}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:

2¹=2

2²=4

2³=6

2⁴=0

2⁵=2

Apabila 2 selanjutnya dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan berulang. Sehingga <2> tertutup terhadap operasi di Z₈ akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z₈.

Selanjutnya ambil a=4, dimana <4>={0,4}. Dengan cara serupa kita dapatkan:

4¹=4

4²=0

4³=4

4⁴=0

4⁵=4

Apabila 4 dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan berulang pada order dari <4> sehingga <4> tertutup terhadap operasi di Z₈ akibatnya <4> merupakan subgrup dari Z₈.

Ternyata subgrup dari Z₈ adalah <2> dan <4> dimana <2>={0,2,4,6} dan <4>={0,4}. <2> dan <4> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z₈.

Sehingga diagram latticenya adalah:

2. Z₁₂={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}

Ambil a= 2 dimana <2>={0,2,4,6,8,10}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:

2¹=2                                2⁴=8

2²=4                                2⁵=10

2³=6                                2⁶=0

Apabila 2 dipangkatkan sampai n dimana n є Z hasilnya tetap berada pada <2> sehingga tertutup terhadap operasi pada Z₁₂. Akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z₁₂.

Dengan cara serupa ambil a=3 dimana <3>={0,3,6,9} sehingga diperoleh:

3¹=3                                3⁵=3

3²=6                                3⁶=6

3³=9                                3⁷=9

3⁴=0                                3⁸=0

Dari hasil di atas <3> merupakan subgrup dari Z₁₂.

Selanjutnya ambil a=4 dimana <4>={0,4,8}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:

4¹=4                              4⁴=4

4²=8                              4⁵=8

4³=0                              4⁶=0

Apabila 4 dipangkatkan sampai pangkat ke-n, dimana n є Z hasilnya akan sama dengan order dari <4> yaitu <4>={0,4,8} sehingga tertutup terhadap operasi di Z₁₂ akibatnya <4> merupakan subgrup dari Z₁₂.

Ambil a=6 dimana <6>={0,6} dengan cara yang sama diperoleh:

6¹=6                              6³=6

6²=0                              6⁴=0

Dengan memangkatkan a sampai pangkat ke-n hasilnya akan sama dengan <6> sehingga <6> tertutup terhadap operasi di Z₁₂ akibatnya <6> merupakan subgrup dari Z₁₂.

Dari hasil diatas dapat disimpulkan <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup dari Z₁₂. <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z₁₂ dan <0> merupakan subgrup trivial dari Z₁₂.

Diagram lattice dari Z₁₂ adalah sebagai berikut:

Contoh 2:

Pada contoh sebelumnya, yaitu pada Z₈ <2> dan <4> adalah subgrup siklik dari Z₈.

Contoh 3:

Carilah pembangun dari Z₅ !!!

Jawab:

Order dari Z₆ adalah Z₆={0,1,2,3,4,5}. Misal kita ambil a=1 maka:

1¹, 1², 1³, 1⁴, 1⁵, 1⁶,….,={1,2,3,4,5,0,….,}= Z₆.

Sehingga <1> merupakan pembangun dari Z_6.

Selanjutnya dicari pembangun yang lain dari Z_6. Kita ambil a=2

2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶,….,={2,4,0,2,4,0,….}≠ Z_6.

Sehingga 2 bukan pembangun dari Z_6.

untuk a=3 hasilnya:

3¹, 3², 3³, 3⁴, 3⁵, 3⁶,….,={3,0,3,0,3,0,….}≠ Z₆

Sehingga 3 bukan pembangun dari Z_6.

Kemudian untuk a=4 didapatkan:

4¹, 4², 4³, 4⁴, 4⁵, 4⁶,….,={4,2,0,4,2,0,….}≠ Z₆

Sehingga 4 bukan pembangun dari Z_6.

Selanjutnya untuk a=5 diperoleh:

5¹, 5², 5³, 5⁴, 5⁵, 5⁶,….,={5,4,3,2,1,0,….,}= Z₆.

Sehingga <5> merupakan pembangun dari Z_6.

Kesimpulan :

Berdasarkan hasil di atas dapat kita simpulkan bahwa pembangun dari Z₆ adalah 1 dan 5 karena <1>=<5>= Z_6. Dari definisi di atas ternyata Z₆ merupakan subgrup siklik dengan pembangun 1 dan 5.

Advertisement