GRUP SIKLIK
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan maka merupakan
subgrup atas G. Subgrup ini dinamakan subgrup siklik G yang dibangun oleh a.
Jika (G,∗) merupakan grup, terdapat , jika maka a dinamakan pembangun G sehingga maka G disebut grup siklik.
Pembangun adalah jika (G,∗) merupakan grup, , dan Elemen a disebut
pembangun grup H dan dinotasikan .
Contoh temukan semua pembangun dari grup siklik
Jawab
Order adalah Diketahui (G,# ) merupakan grup siklik. Jika elemen-elemen pada G berhingga, maka order dari G adalah jumlah elemen pada G. Jika elemen-elemen pada G tidak berhingga, maka order dari G adalah tidak berhingga. Order dari G dinotasikan dengan G .
Contoh berapa dari grup siklik
Jawab
4
Teorema
Setiap grup siklik merupakan grup komutatif.
Bukti.
Misalkan G adalah grup siklik dan a merupakan pembangun G yaitu . Ambil sebarang elemen .
Karena G merupakan grup siklik, maka terdapat bilangan sehingga
Jadi, terbukti bahwa G merupakan grup komutatif.
Lemma
Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat secara unik bilangan bulat q dan r sehingga
n = mq + r dan
Teorema
Subgrup pada suatu grup siklik merupakan grup siklik.
Bukti.
Misalkan G merupakan grup siklik yang dibangun oleh a dan H subgrup dari G.
Akan ditunjukkan bahwa H merupakan grup siklik.
Jika {e} = H, jelas bahwa <e>= H sehingga H merupakan grup siklik.
Jika {e} H maka terdapat x H , dengan , Karena H merupakan subgrup dari G, maka x G ¸ dan berakibat, untuk suatu .
Pilih , sebagai bilangan yang terkecil sehingga
Akan ditunjukkan bahwa <
Ambil sebarang y H¸ dan karena H subgrup dari G, maka x G, dan berakibat untuk suatu
Menurut lemma maka z = qm + r untuk
Karena dan ada di H dan G adalah grup, maka
Akibatnya
Tetapi karena m adalah bilangan asli terkecil sehingg dan maka haruslah
r = 0 sehingga p = qm
Jadi karena untuk sebarang berlaku , maka <> = H jadi H grup siklik
Akibat 1.2
Jika a adalah pembangun dari grup siklik sehingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah dimana r dan n relative prim (FPB), yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1
Temukan semua subgrup dari
Jawab :
Dari akibat diperoleh 1,3,7,9 adalah pembangun dari
Karna 2 bukan pembangun dari maka 2 kemungkinan merupakan subgrup dari
Subgrup dengan orde 5,pembangun yang berbentuk h2 dengan h relative prim 5
Sehingga hanya perlu mncari subgrup yang dibangun oleh
Jadi subgrup dari adalah 2 dan 5
