ISOMORFISMA
Definisi
Grup g dikatakan isomorfisma dengan jika:
- I. Fungsinya satu- satu
- II. Fungsinya pada
- III. Mengawetkan operasi
Grup G dan isomorfisma dinotasikan dengan
Teorema
Jika suatu isomorfisma dari G ke , dan e adalah identiras dari G maka identitas dari , dan juga untuk semua atau dengan kata lain suatu isomorfisma memetakan identitas ke identitas dan invers ke invers.
Bukti
Misal , karena pada maka terdapat sehingga
Kemudian
Dengan cara sama diperoleh:
Jadi, untuk semua berlaku
Sehingga adalah identitas dari .
Selanjutnya untuk kita dapatkan
Dengan cara sama diperoleh
Akibatnya .
Menunjukkan Dua Grup Isomorf
Proses menggunakan definisi untuk membuktikan dua buah grup, dan isomorf adalah:
LANGKAH 1 Definisikan fungsi yang akan memberikan suatu isomorfisma dari ke .
LANGKAH 2 Tunjukkan satu-satu
LANGKAH 3 Tunjukkan pada
LANGKAH 4 Tunjukkan untuk semua .
Contoh 1 Akan dibuktikan
LANGKAH 1 Untuk , definisikan . Ini merupakan pemetaan
LANGKAH 2 Jika akibatnya sehingga . Ini menunjukkan pemetaan satu-satu.
LANGKAH 3 Jika maka ,kemudian. Sehingga bersifat pada.
- LANGKAH 4 Untuk , akan dibuktikan .
Jadi, berdasarkan definisi telah terbukti bahwa suatu isomorfisma.
Conoh 2 The map defined by for is one to one and onto . Give the definition of a binary operation * on such that an isomorphism mapping
. In each case, give the identity element for * on .
Jawab
Adb .
Cari
Sehingga definisinya
Identitasnya
Teorema 8.2 Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan , grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.
Bukti. Misalkan mempunyai pembangun dan kita gunakan notasi perkalian untuk operasinya. Jadi
Sudah kita tunjukkan pada kasus satu pada subbab 7.2 bahwa pada grup siklik
